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數學:確定性的喪失

作　　者： [美]M·克萊因
ISBN(書號)： 978-535718570
從書名： 第一推動叢書
出版日期： 2001-8-1
版　　次： 2.11
開　　本： 大32開
字　　數： 417 千字
　　

定　價：￥ 32.00

絕大多數有知識的人今天仍然認為數學是關于物質世界的不可動搖的知識體系，數學推理是準確無誤的。本書駁斥了這種神化。它強調了數學不合邏輯的發展方式，應用數學反對“純”數學的問題以及在20世紀數學邏輯結構的連貫性遇到的挑戰。

第一章數學真理的起源

極度幸福的靈魂，
是為誰而激發!
為了這些真理，
去度量閃爍的星空！
他們用思想的韁繩，
馴服了桀驁的天體。
過去撲朔迷離的天空，
現在變得清清楚楚。

——奧維德

任何值得一提的文明都探索過真理。思索的人們盡管不能，但總是試圖去理解復雜多變的自然現象，去解開人類如何定居在這個地球上的謎題，去弄明白人生的目的，去探索人類的歸宿。在所有早期文明中，這些問題的回答都是宗教領袖給出的，并為人們所普遍接受。只有古希臘文明是個例外。希臘人發現(人類所作出的最偉大的發現)了推理的作用。正是古典時期(公元前600年至前300年間的鼎盛時期)的希臘人，認識到人類有智慧、有思維(有時佐以觀察或實驗)，能夠發現真理。
是什么導致希臘人作出這個發現，這個問題不大好回答。把推理用于人類活動和思維的始祖曾生活在愛奧尼亞——古希臘人在小亞細亞的一個定居處。許多歷史學家試圖依據政治和社會環境對此作出解釋，比如，愛奧尼亞人有更大的自主性去無視統治歐洲希臘文明的宗教信仰。但是，我們所知的在約公元前600年以前的希臘歷史過于零碎，無法作出明確的解釋。
〖〗數學：確定性的喪失〖〗〖〗第一章〖〗數學真理的起源當時希臘人把推理用于政治體系、倫理道德、法律、教育和其他許多方面。他們的主要地、決定性地影響了后代文明的貢獻是接受了對推理的最強有力的挑戰，知道了自然界有規律可言。在作出這個貢獻以前，希臘人和古代其他文明時期的人們認為自然是混亂、反復無常，甚至是恐怖的。自然現象是無法解釋的，或者是神的意志決定的，只有用祈禱、祭祀和其他宗教儀式來解脫。其卓越的文明可追溯到公元前3000年的巴比倫人和埃及人，他們確實注意到了日月運動的周期現象，并據此設立了歷法，但卻沒有更深入地研究它們。這些極少的偶然的觀察沒有改變他們對自然的態度。
希臘人敢于正視自然。他們的精神領袖(如果不是普通民眾)摒棄了傳統觀念、超自然力、迷信、教條和其他思想束縛。他們是最早檢驗并試圖理解各種謎一般的復雜的自然活動的人們。他們以思維與似乎瞬息萬變的宇宙現象抗爭，將理性之光灑于其上。
他們有著永不滿足的好奇心和勇氣，他們提出和回答了許多人遇到過、但卻極少人試圖解決，并且只能被具有最高智力水平的人所解決的問題。整個宇宙的運轉是有計劃的嗎？植物、動物、人類、星系、光和聲，僅僅是物理現象還是一個完美設計的一部分?由于希臘人總夢想著提出新見解，所以他們建立了后來統治整個西方思想中關于宇宙的概念。
希臘的智者們對自然采取了一種全新的態度。這種態度是理性的、批判的和反宗教的。神學中上帝按其意愿創造了人和物質世界的信仰被摒棄了。智者們終于得出了這樣的觀念；自然是有序的，按完美的設計而恒定地運行著。從星體的運動到樹葉的顫動，所有感官能感知的現象都能用一種精確、和諧而理智的形式來描述。簡而言之，自然是按理性設計的，這種設計，雖然不為人的行為而影響，卻能被人的思維所理解。
希臘人不僅是探索混雜現象的秩序和規則的勇敢的先驅，而且也是以才智發掘出自然現象顯而易見所遵循的基本模式的先驅。他們敢于詢問并且發現了人類觀測到的最壯觀的景象的基本規律：朝升夕落的太陽，陰晴圓缺的月亮，光彩奪目的行星，星漢燦爛的夜空，奇妙無比的日食、月食。
正是公元前6世紀的愛奧尼亞哲學家首先嘗試尋求對大自然和宇宙運行規律的合理解釋。這一時期的著名哲學家們，如泰勒斯(Thales)、阿那克西曼德(Anaximander)、阿那克西米尼(Anaximenes)、赫拉克利特(Heraclitus)和阿那克薩哥拉(Anaxagoras)，各自恪守一個主旨去解釋宇宙的構成。比如泰勒斯認為萬物都是由氣態、液態和固態的水組成的，他試圖用水的觀點解釋許多現象——這是一個不無道理的解釋。因為云、霧、露、雨和雹是水的不同形態，而水是生命不可缺乏的，它滋潤莊稼，養育動物。現在我們知道甚至人體的90％是水。
愛奧尼亞人的自然哲學是一系列的大膽的觀察，敏銳的猜測和天賦的直覺，而不是廣泛而細致的科學研究的成果。這些人也許有些過于急切看到世界的全貌，從而匆匆忙忙得到一些泛泛的結論。但他們的確拋棄了一些陳腐的神秘觀點，而代之以唯物主義的，對宇宙的設計和運行的客觀解釋。他們以理性方法取代了幻想和非批判的觀點，用推理來論證自己的觀點成立。這些人敢于用思維來對待世界，拒絕依賴神靈、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也許能夠維護或毀滅自然現象的神秘力量。可以用阿那克薩哥拉的話來表述這種理性觀點的精髓：“理性統治著世界。”
摒除故弄玄虛、神秘主義和對自然運動的雜亂無章的認識，而代之以可理解的規律的決定性的一步是數學知識的應用。在這里，希臘人展示出一種可以與推理的作用的發現相媲美的、幾乎同樣富有想像力和獨創性的洞察力：宇宙是以數學方式設計的，借助于數學知識，人類可以充分地認識它。最早提出自然界數學模式的是以畢達哥拉斯(Pythagoras)為領袖的坐落于意大利南部的畢達哥拉斯學派。雖然他們從盛行的致力于靈魂的凈化和將它從肉體的污濁束縛中解脫出來的希臘宗教中吸收了靈感和信條，其自然哲學卻是完全理性的。畢達哥拉斯派震驚于這樣一個事實，即由定性地看各種各樣的現象都表現出相同的數學性質，可推知數學性質必定為這些現象的本質。更精確地，他們從數和數的關系方面發現了這種本質。數學是他們解釋自然的第一要素，所有物體都是由物質的基本微粒或“存在單元”根據不同的幾何形狀組成的。單元的總量實際上代表了實在的物體，數學是宇宙的實體和形式。因而畢達哥拉斯學派認為：“萬物皆數也。”因為數是萬物之“本”，對自然現象的解釋只有通過數字才能得出。
這種早期的畢達哥拉斯派思想是令人迷惑的。因為對于我們來說，數字是抽象概念，而事物是實際存在的。但我們已經得到了一種數字的抽象，而早期的畢達哥拉斯派并未做到。在他們看來，數字是點或微粒。他們提到三角形數、正方形數、五邊形數時，想到的是點集、晶狀體或點狀物體。如圖11至圖14所示。
圖11三角形數圖12正方形數圖13五邊形數圖14六邊形數雖然歷史片段沒有提供精確的年代數據，這一點卻是無疑的，即畢達哥拉斯學派發展并完善了自己的認識。他們開始把數字理解為抽象概念，而物體只不過是數字的具體化。有了這一后來的特性，我們可以明白菲洛羅斯(Philolaus)的論述：“如果沒有數和數的性質，世界上任何事物本身或與別的事物的關系都不能為人所清楚了解……”你不僅可以在鬼禪的事務上，而且在人間的一切行動和思想上乃至在一切行業和音樂上看到數的力量。
例如，畢達哥拉斯學派之所以能把音樂歸結為數與數之間的簡單關系，乃是因為他們發現了下列兩個事實：第一，弦所發出的聲音取決于弦的長度；第二，兩根繃得一樣緊的弦，若一根是另一根長的兩倍，就會產生諧音。換言之，兩個音相差八度。如兩弦長為3比2，則發出另一諧音。這時短弦發出的音比長弦發出的音高五度。確實，產生每一種諧音的多根弦的長度都成整數比。畢達哥拉斯學派也搞出了一個著名的音階。我們雖然不打算講許多希臘時代的音樂，但要指出許多希臘數學家包括歐幾里得和托勒密，都寫過這方面的著作，特別是關于諧音的配合，而且還制定過音階。
畢達哥拉斯學派把行星運動歸結為數的關系。他們認為物體在空間運動時會發出聲音，這也許是從繩端吊一東西擺動時發出聲音這一方面引起的特例。他們還認為運動得快的物體比運動得慢的物體發出更高的音。根據他們的關系，離地球越遠的星，運動得越快，因此行星發出的聲音(我們因為從出世之日起就聽慣了，所以覺察不出來)因其與地球的距離而異而成諧音。但因這“天籟之音”也像所有諧音一樣可以推為數的關系，所以行星運動也是這樣。
自然界的其他形形色色特性也可“歸結”為數。1、2、3、4這四個數，叫四象，是特別受重視的。據說畢達哥拉斯學派的誓詞即是：“謹以賦予我們靈魂的四象之名宣誓，長流不息的自然的根源包含于其中。”他們認為自然是由四元性組成的，點、線、面和立體。后來柏拉圖強調的則是4種物質元素，土、氣、火、水。
四象的4個數字之和為10，所以10是個理想數，其代表宇宙。為了填滿這個數字，畢達哥拉斯學派引入了中心地球，加上日、月，已知的五大行星和位于中心地球另一側的反地球。我們看不到中心地球和反地球，因為我們所居住的那部分地球是背朝它們的。我們在這里不打算詳細敘述細節，關鍵一點是畢達哥拉斯學派將天文學建筑在數的關系之上。
由于畢達哥拉斯學派將天文學和音樂“歸結”為數，這兩門學科就同算術和幾何發生了聯系。這四門學科都被人看成是數學學科，甚至一直到中世紀，仍被包括在學校課程中，當時號稱“四大學科”。
亞里士多德在《形而上學》一書中，總結了畢達哥拉斯學派對數的現實世界的認識：

他們似乎察覺到了存在的以及將要形成的事物在數方面的共性，而不僅僅表現在火、土和水上(這樣或那樣數字的修正是合法的，另一種是精神和推理，再一種則是機會——同樣幾乎所有的其他事物都可用數字表達)；又因為音階的修正和比例可用數字表示；還由于其他事物在本質上都能用數字來模式化，數字似乎是整個自然界的先驅。他們認為所有事物里都含有數的成分，整個太空就是一個音階或一個數字。

畢達哥拉斯學派的自然哲學很難與實際相吻合。美學考慮和對數學關系的窮追不舍相混合，當然會導致超越實際觀察的論斷。畢達哥拉斯學派也未使物理科學的任一分支向前發展，可以公正地稱其理論為膚淺的。但或是憑運氣或是憑天生的直覺，畢達哥拉斯學派的確言中了后來兩條證明是極為重要的信條：第一是自然界是按數學原理構成的；第二是數學關系決定、統一并顯示了自然的秩序。實際上現代科學也堅持畢達哥拉斯學派對數學的強調，雖然，正如我們將看到的，現代理論是畢達哥拉斯學派理論的更為高級的形式。
畢達哥拉斯學派之后的哲學家更加關注現實世界的本質和基本的數學設計。留基伯(Leuccipus)和德謨克里特(Democritus)由于更加清晰地確定了原子論而聞名于世。他們的共同哲學觀點是：世界是由無窮多個簡單的、永恒的原子組成的。這些原子的形狀、大小、次序和位置各有差異，但每個物體都是由這些原子以某種方式組合而成的。雖然幾何上的量，如直線段，是無限可分的，原子卻是終極的，不可再分的質點。形狀、大小等只是原子的特性，其他性質如味、熱則非原子所固有而來自觀察者，所以感性認識不可靠，因它隨觀察者而異。原子論者也和畢達哥拉斯學派一樣，認為隱藏在自然界不斷變化著的萬象之下的真實性是可用數字來表示的，而且認為這個世界上所發生的一切是由數字規律嚴格確定了的。
繼畢達哥拉斯學派之后，傳播這種主張最有影響的，當屬由柏拉圖領導的柏拉圖學派。柏拉圖接受了一些畢達哥拉斯學派思想，他控制了公元前4世紀這一重要時期希臘人的思想。他是雅典柏拉圖學園的創立者，這個學園是一個吸引了當時一流思想家的中心，存在了900年之久。
也許在柏拉圖的對話《愛好者》中，其對于宇宙的合理性的信仰表現得最為出色。

(普洛塔庫斯簡稱普，蘇格拉底簡稱蘇)
普：什么問題?
蘇：他們所說的宇宙是不可推理、雜亂無序的，抑或像我們前人所認為的是由極高的才華和智慧所控制和有序化的。
普：迷茫的蘇格拉底，這兩種論點截然相反，你剛才的話我認為褻瀆了神明，但是一個觀點，即思維統治萬物，卻是極富有價值的。我別無他求。

后來畢達哥拉斯學派和柏拉圖學派在物質世界和理想世界之間產生了尖銳的分歧。物質世界的事物及聯系是不完美、變化和衰落的，因而不能代表終極真理。但有一個絕對而不變的真理的理想世界，這些真理正是哲學家們所關注的。對于物質世界我們只可能有觀點，可見、可感知的世界只是理想世界的一個模糊迷離、不完美的拷貝。“事物是思想在經驗屏幕上的投影”。由于現實可在感覺和實物中找到，因而柏拉圖認為一匹馬、一間屋或者一個完美的女子并不真的存在。現實只存在于馬、房屋、女子的廣為接受的形式或觀念之中。永恒的知識只能從純粹理想的形式中獲得，這些思想實際上是永恒不變的。關于它們的知識是穩固而堅不可摧的。
柏拉圖堅持認為只有從理想世界的數學知識來理解現實世界的實在性和可知性，無疑這個世界是數學化的。普魯塔克(Plutarch)道出了柏拉圖的名言：“上帝終究要將世界幾何化。”在《共和國》一書中，柏拉圖認為“幾何學所要求的知識是永恒的，而不是轉瞬即逝或反復無常的”。數學定律不僅是現實的本質，而且永恒不變。數字關系也是現實的一部分，實際事物不過是數字的模擬體。早期畢達哥拉斯學派認為數字是事物內在固有的，而柏拉圖認為數字超越了事物。
柏拉圖比畢達哥拉斯學派前進了一步，他不僅希望用數學來理解自然界，而且要用數學來取代自然界本身。他相信，對物質世界僅用少量決定性的幾步推理，即能得到基本的真理。按此觀點將只有數學存在，數學將取代物理研究。
普魯塔克在他的《馬塞魯斯的生平》一書中提及歐多克斯(Eudoxus)和阿基塔斯(Archytas)(柏拉圖同時代的名人)運用實際論據來“證明”數學結果。但柏拉圖義憤地貶斥這種證明為幾何學的墮落；指責他們利用感性知識來取代純粹的推理。
柏拉圖對于天文學的觀點顯示了他正在探索這門科學的立場。他認為，這門學科研究的不是可見的天體的運動。天空中星體的排列和明顯可見的運動的確奇妙美麗，但僅有對運動的觀察和解釋遠稱不上真正的天文學。在接觸這門真正的科學之前，我們必須拋開“天體”，因為真正的天文學探求的是數學化宇宙中星體的運動定律，而可見的天體只是其不完美的表現形式。他鼓動人們獻身于理論天文學，因為其問題取悅于人的心智而不是視覺，其對象由人的心智就能感受到而不是憑眼睛所看見。天空中呈現出的各種圖形只可用作探索更深層真理的輔助圖表。我們必須把天文學看成幾何學一樣，僅僅是由可見事物揭示的一系列問題。柏拉圖對航海、歷法和計時中的天文學的使用并不感興趣。
亞里士多德雖然是柏拉圖的學生并從老師那兒繼承了許多思想，對于現實世界以及數學和現實之間的關系的探究卻有著不同的看法。他批評柏拉圖的冥世思想以及把科學歸結為數學的認識。亞里士多德是個物理學家，他相信物質的東西是實在的主體的源泉。物理學乃至一般的科學必須研究現實世界并從中獲取真理。真正的知識是從感性的經驗通過直觀和抽象而獲得的，這種抽象不能獨立于人的思維而存在。
亞里士多德的確強調從實物中抽象出的普適的一般的性質。為了獲得這些性質，他認為我們應“從可知和可觀察的事物出發，向著本質上可為人們認識的逐漸清晰的事物前進”。他抽取物體的明顯的感性特征，使之具體化并上升為獨立的精神上的概念。
在亞里士多德關于事物的分類方案中，把數字擺在什么地位呢?物理科學是基礎科學，數學則從描述形式上的特征(如形狀和數量)這方面來幫助研究。它也為物質現象中觀察到的事實提供解釋。例如幾何說明光學和天文學提供的事實，算術上的比例關系能說明產生諧音的理由。但數學概念和原理肯定是從現實世界中抽象出來的，正因為如此，它們也可用于現實世界。思維使我們可以從感性認識獲得實物的理想化特征，這種抽象必然是真實的。
對于鑄造和構成了希臘思維世界的哲學家的短暫回顧也許有助于說明為什么他們為了了解、欣賞更深層次的內涵，都重視對實質的探討。而且，從畢達哥拉斯開始，所有哲學家都認為世界是依照數學設計的。在這個經典時期末期，上述觀點已經確立，并且開始了對數學規律的探求。雖然這個觀點并未影響后世所有的數學家，但一旦為人接受，它就作用于大多數偉大數學家的思維，甚至影響了那些尚未接觸過它的人。希臘人這一重要思想的最大勝利是他們認為宇宙是按可為人類思維所能發掘的數學規律運行的。
于是希臘人決定尋求真理，特別是關于自然的數學化設計的真理。人們怎樣尋求真理并證明其是真理呢?在此，希臘人也繪出了方案。這個方案在從公元前600年到公元前300年這段時期逐漸發展，它是何時由何人最先提出尚無定論，但到公元前300年，它已經相當完善了。
從廣義的、使用數字和幾何圖形這方面來看，數學早于古典時期希臘人的研究幾千年就開始形成了。廣義來講數學包括了許多已經消失了的文明(最有名的有埃及文明和巴比倫文明)的貢獻。除了希臘文明外，在其他文明中數學并不是一個獨立體系，它沒有形成一套方法，僅為了直接而實用的目的被研究。它是一種工具，是一系列相互無關的、簡單的、幫助人們解決日常問題的規則，如推算日歷、農業和商業往來。這些規則是由試探、錯誤、經驗和簡單的觀察得到的，許多都只是近似的正確。這些文明中的數學的最優之處在于，它顯示了思維的某些活力和堅韌，盡管不嚴格，成就也遠非輝煌。這類數學的特點可用經驗主義一言蔽之。巴比倫人和埃及人的經驗主義數學為希臘人的研究工作揭開序幕。
雖然希臘文明沒有完全脫離外界影響——希臘思想家們曾在埃及和巴比倫游歷學習，盡管現代意義上的數學必須經受希臘的理性氛圍的熏陶，但是希臘人的創造與他們所吸收的知識卻有天壤之別。
希臘人已決心探索數學真理。他們不能把工作建筑在前人(有名的埃及人和巴比倫人)粗糙的、經驗主義的、有限的、零散的，在很多情況下是不精確的成果之上。數學原本是一些關于數字和幾何圖案的基本事實，必然是一個真理體系。數學推理旨在推導出關于自然現象，如天體運動的真理，必然得出不容置疑的結論。怎樣達到這些目的?
數學的本原應是處理抽象對象。對于創造了希臘數學的哲學家來說，嚴格的真理只適用于永恒不變的實體以及關系。幸運的是，人類由對事物的感性認識得到的認識可以上升為較高層次的理念，這便是思想，永恒的現實和思想的真實載體。青睞抽象還有一個原因，欲使數學更強有力，就必須在一個抽象概念中包含它所表示實物的本質特征。從而數學上的直線必須包括拉伸的繩子、直尺邊、田地的邊界和光線的路徑。相應地，數學上的直線沒有粗細、顏色、分子結構和繃緊度之分。希臘人明確地指出數學是處理抽象事物的。柏拉圖在《共和國》中提及幾何學家：

你是否也知道，他們雖利用可見的形象并拿來進行推理，但他們想的并不是這些東西，而是類似于這些東西的理想形象：他們所看到的不是所畫的圖形，而是絕對正方形及絕對直徑……他們力求看到事物本質，而這只有用心靈之目才能看到。

因而數學首先處理點、線和整數等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圓可以用基本概念來定義，而基本概念正如亞里士多德所說應該是不可定義的，否則就沒有起始點。希臘人的精明之處表現在，他們要求被定義的概念應有現實的對應物體，或是論證得到或是構造得到。因而人們無法定義三等分角并證明有關它的定理，它可能并不存在。實際上，由于希臘人無法在他們自己提出的作圖條件下三等分角，他們就沒有引入這個概念。
為了推導出數學概念，希臘人從自明的、無人懷疑的公理入手。柏拉圖用他的回憶理論證明了公理的可行性。正如我們前面提到過的，他認為存在一個真理的客觀世界。人在出世前有過精神世界的經歷，只要激發一下就可以回憶起以前的經歷從而認識到幾何學公理是真理，這并不需要實踐。但亞里士多德并不這樣認為，他認為公理是可理解的原理，符合思維而沒有什么可懷疑的。亞里士多德在《后驗分析》中指出，我們憑著絕對可靠的直覺認識到公理是真理，而且，我們必須以這些公理作為推導的基礎。相反，如果使用了一些并未證明是真理的事實，下一步推理就需要證明這些事實，而這一過程是無限循環的，那么這就變成了永無止境的回退。他又區分了公理和公設，公理對所有思想領域皆真，包括“等量加等量還是等量”這樣的命題。公設則適用于專業學科，如幾何學，從而有“兩點決定一條唯一的直線”。亞里士多德也的確指出公設無需一望便知其為真，但應被其所推出的結果所支持。然而這種不證自得的真理是數學家所需要的。
從公理出發，可用推理得出結論。有多種推理方法，比如，歸納、類比和演繹，其中只有一種能夠證明結論的正確性。由1000個蘋果都是紅的而得出蘋果都是紅的這個結論，是歸納，不一定可靠。類似的，由于約翰的兄弟已從大學畢業，而約翰受教于同樣的老師，所以也應該能從大學畢業，這是由類比推出的推理，當然也是不可靠的。然而，如果假定人終將一死，而蘇格拉底是人，則必然接受蘇格拉底也會死這樣的結論。這里所涉及到的邏輯，亞里士多德稱之為三段式演繹法。在亞里士多德的其他推理規則中，還有歸謬法(一個命題不可能既真又假)及排中律(一個命題必須為真或假)。他和世人都毫無疑問地承認這些推理原理用于任一前提時，推導出的結果和前提一樣可靠。因此，如果前提為真，則結論也為真。值得一提的是，后面我們將要討論的，亞里士多德從已為數學家所應用的推理方法中抽象出了演繹邏輯法。
雖然幾乎所有希臘哲學家都宣稱演繹推理是獲取真理的唯一可靠方法，柏拉圖的觀點卻有些不同。他雖然不否定演繹證明，卻認為沒必要。因為數學公理和定理存在于不依賴于人的意志的客觀世界，根據柏拉圖的回憶理論，人們只須回憶并且承認他們那些毋庸置疑的真理，用柏拉圖在《西艾泰德斯》一書中的比喻來說，定理，就像關在鳥籠中的鳥。它們呆在那里，你只需伸手進去抓住它們。學習就是一個收集的過程。在柏拉圖的對話《梅農》里，通過巧妙地詢問一個年輕奴隸，蘇格拉底證實了同底等高的正方形面積是等腰三角形面積的兩倍。從而蘇格拉底成功地得出結論，即便是沒有受過幾何學訓練的奴隸也可以在適當的提示下回憶起來。
認識到人們是多么堅定相信演繹推理是很重要的。假設一位科學家在不同地區測量了100個形狀大小不同的三角形，發現它們的內角和在實驗精度允許范圍內都是180°，他當然可以下結論，任何三角形的內角和都是180°。但他的證明是歸納而不是演繹，從而在數學上不會被認可。同樣，只要你高興，你可以檢驗任意多的偶數，發現它們都是兩個素數的和，但這種檢驗也不是演繹證明，因而結果也不是數學定理。那么看來，演繹證明是一種很嚴格的要求。但是，希臘的數學家們，他們(主要是哲學家)堅持一定要用演繹推理，因為這樣可以得到真理，永恒的真理。
哲學家們偏愛演繹推理還有一個原因，他們致力于理解人類和物質世界的廣泛知識。為了建立普遍成立的真理，如人性本善，又如世界是既定的，或人本有為而生之，從可接受的基本原理進行演繹推理要比用歸納或類比，更加可行。
古希臘人喜愛演繹法的另一個原因應歸結于他們的社會構成。富有階層進行哲學、數學和藝術活動，這些人不干體力勞動。奴隸、非公民和自由手工業者，從事商業和家務勞動，甚至從事最重要的職業。受過教育的自由人不動手，很少進行商貿活動。柏拉圖認為商貿活動，對于自由人來說是墮落，他還希望，如果自由人從事了這一行，就要被視為犯罪而受到懲罰。亞里士多德認為在理想條件下公民(與奴隸相對)不應從事任何商業。在畢歐欽人(Boeotian，希臘人的一個部落)中，用商務來褻瀆自己的人10年內不得擔任公職。對于這種階層里的思想家，是不用實驗和觀察的，因此也無法從中獲得科學或數學結論。
雖然希臘人堅持運用演繹推理的原因很多，但還有一個問題，即：是哪個哲學家或哲學派別首先提出這個要求的。遺憾的是，我們對于蘇格拉底時代以前的哲學家們的學說和著作的認識是零碎的，盡管眾說紛紜，卻無定論。到了亞里士多德時代，對演繹推理的要求已經確定，因為他闡明了不可定義概念的必要性和推理方法的嚴格標準。
希臘人欲得到宇宙的數學規律，他們在這方面成就如何呢?由歐幾里得、阿波羅紐斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy)所創立的數學的精華有幸傳給了我們。在時間上他們屬于希臘文化的第二個重要時期，亞歷山大里亞時期(公元前300年~公元600年)。在公元前4世紀，馬其頓的菲利浦王著手征服波斯人，后者控制了近東，是歐洲希臘人的世敵。菲利浦被刺后，其子亞歷山大繼承了王位。亞歷山大擊敗了波斯人，把擴大的希臘帝國的文化中心遷到了一個他謙虛地以自己名字命名的新城市。亞歷山大死于公元前323年，但他發展新中心的計劃由其在埃及接受了托勒密王號的后繼者繼續。
可以肯定歐幾里得約于公元前300年生活在亞歷山大里亞，在那里教育學生，雖然他自己也許是在柏拉圖學院完成了學業。順便提一句，這是我們所了解的歐幾里得個人生活的全部。歐幾里得著作具有系統、演繹的形式，是許多古希臘人孤立發現的匯合，他們的主要著作《幾何原本》給出了空間和空間中圖形的規律。
歐幾里得的《幾何原本》是他對空間幾何的全部貢獻。歐幾里得從一本已失傳的書中接收了圓錐曲線的理論，在亞歷山大里亞學習數學的小亞細亞拍加人阿波羅紐斯，繼續其關于拋物線、橢圓和雙曲線的研究，并寫出了這方面的經典著作《圓錐曲線》。
在亞歷山大里亞受教育而生在西西里的阿基米得對純幾何學知識增添了幾本著作《論球和圓柱》，論《劈錐曲面體與球體》，《拋物線的求積》。他都是用歐多克斯(Eudoxus)提出的方法來計算復雜的面積和體積，后來被稱作窮竭法。現在這些問題可用微積分來解決。
希臘人對空間和空間圖形的研究，作出了一個重要貢獻——三角學。這一學科的創始人是喜帕恰斯。他生活在羅德斯和亞歷山大里亞，約死于公元前125年。三角學由梅內勞斯(Menelaus)發展，并由在亞歷山大里亞工作的埃及人托勒密給出完整的、權威的描述。他的主要著作《數學匯編》，阿拉伯人稱之為《大匯編》，知名度更廣。三角學研究三角形邊、角的量化關系。希臘人主要關注球面上的三角形，其邊是由大圓(圓心在球心)弧組成的。因為在希臘天文學中，行星和恒星沿大圓運行，所以他們的三角學，主要應用于行星和恒星的運動。同一理論加以改變，又可用于平面上的三角形，這正是我們現在學校里所學的那種三角學形式。三角學的引入要求其使用者具有較高深的算術和某些代數知識。希臘人怎樣在這些領域內工作的，我們將在后面討論(見第五章)。
借助于這樣一些發現，數學從模糊的、經驗的割裂狀態轉變成為輝煌的、龐大的、系統化的和充滿智慧的創造物。然而，歐幾里得、阿波羅紐斯和阿基米得的經典著作(托勒密的《大匯編》是個例外)所涉及的空間及空間圖形的性質卻囿于視野之內，對其中所蘊含的更廣泛意義卻少有提示。這些著作似乎和揭示自然的真理無關，實際上，他們只是給出了一種形式上的、精練的演繹數學。在這方面，希臘數學課本與現代數學課本和文獻沒有什么兩樣。這些書的目的僅僅是為了組織和顯示已取得的數學成果，而省略了這些工作的動機，定理的來源和提示及其應用。因而許多研究古希臘科學的人都認為，古希臘這一時期的數學家主要是為了數學本身而探索數學，他們指出并證實了這個論斷，并提及歐幾里得的《幾何原本》及阿波羅紐斯的《圓錐曲線》這兩部當時最著名的著作。然而，就像僅憑二項展開式定理就得出牛頓是一個純粹數學家的結論，他們僅憑這兩部著作就得了這個論斷，視野未必過于狹窄。
真正的目的是探索自然。在物質世界的探索中，甚至連幾何學的真理也是非常重要的。很清楚，對于希臘人，幾何學原理是宇宙的整體結構的體現，空間是其中的基本組成部分。因而關于空間和空間圖形的探索是宇宙探索的基本工作，幾何學實際上是一門更大的宇宙科學的一部分。比如，當天文學數學化時(在柏拉圖時代出現)，球體上的幾何學研究就著手進行了。實際上，希臘語中的球一詞，對畢達哥拉斯派的人來說，就意味著天文學。歐幾里得的《現象》就是專門討論用于天文學的球面幾何學的。有了這些證據和對更近代的數學的發展狀況更充分的了解，我們也許可以肯定這一點，即科學探討必然會引起數學問題，而數學是探索自然的一部分。我們不必專門去研究這些，只需檢驗希臘人在探索自然中做了些什么，以及這些人中包括誰。
物理科學中最偉大的成就是在天文學上取得的，柏拉圖很清楚巴比倫人和埃及人做出的大量天文學觀測，但卻強調說他們沒有建立或統一理論，沒有對看上去無規律的行星運動作出解釋。歐多克斯(柏拉圖學園里的一名學生，其純粹幾何學工作包括在歐幾里得《幾何原本》的第五篇和第十二篇中)著手解決“整理外觀”的問題。他的解答是歷史上第一個相當完備的天文學理論。
我們描述歐多克斯的理論，只是為了表明它是完全徹底的數學化理論，并且涉及天體的相互作用。這些球體，除了那個固定的恒星外，都不是物質實體，而是數學的構想。他也不想嘗試去描述引起球體轉動的力，他的理論在思想上是極先進的，因為在今天，科學的目的就是為了尋求數學描述而不是物理解釋。在歐多克斯之后這一理論為三位最著名的理論天文學家阿波羅紐斯、喜帕恰斯和托勒密所繼承，其成果包括在托勒密的《大匯編》一書里。
阿波羅紐斯關于天文學的著作現已失傳。他的著作，被希臘人，甚至包括托勒密在他的《大匯編》(第十二篇)中廣為引用。他作為一個天文學家是如此著名以致獲得了艾普西隆(希臘字母ε的讀音)的雅號，因為他對月球運動做了許多研究工作，而ε是月球的記號。關于喜帕恰斯的工作我們只知道一點，他的工作也同樣地被《大匯編》引用。
圖15現在我們所承認的托勒密天文學的基本方案在歐多克斯和阿波羅紐斯時代的希臘天文學就已形成。在這種方案中，行星P以S為中心做勻速圓周運動，而S本身以地球E為中心做勻速圓周運動。S運動的圓叫從圓，P運動的圓叫周轉圓。對某些行星來說，點S就是太陽，但在其他情形下則只不過是數學上假設的一個點。P與S的運動方向可能相符，可能相反，太陽和月球的情況就屬于后一種。托勒密也將這套方案加以變化來描述某些行星運動。通過適當選取周轉圓和從圓的半徑以及天體在周轉圓上的和周轉圓心在從圓上的運動速度，喜帕恰斯和托勒密所描述的天體運動與那時的觀測結果十分吻合。從喜帕恰斯時代起，人們就能預報月食，誤差不超過一兩小時，但對日食的預報卻不那么準。這種預報之所以可能，是托勒密運用了他稱之為專門為天文學而發明的三角學。
從探求真理的觀點來看，值得提及的是托勒密和歐多克斯一樣，充分認識到他的理論只是符合觀測結果的方便的數學化描述，而不一定是自然的真正設計。對于某些行星，他有幾種可供選擇的方案，他選擇了數學上較簡單的那個。托勒密在他的著作《大匯編》的第十三篇中說，在天文學上，人們應尋求盡可能簡單的數學模型。但托勒密的數學模型，被基督教接受為真理。
托勒密的理論提供了第一個相當完整的證據，說明自然是一致的而且具有不變的規律，而且也是希臘人對柏拉圖提出的合理解釋表觀天體運動這一問題的最后解答。在整個希臘時期沒有任何一部著作能像《大匯編》那樣對宇宙的看法有如此深遠的影響，并且除了歐幾里得的《幾何原本》以外，沒有任何別的著作能獲得這樣毋庸置疑的威信。
對希臘天文學的這一簡短敘述，自然不足以顯示即令只是在這里所提到的幾位希臘學者工作的深度和廣度，并且還略去了其他許多貢獻。希臘天文學博大精深，并且應用了大量數學，而且，幾乎每一位希臘數學家，包括大師歐幾里得和阿基米得，都研究過天文學。
希臘人關于實在的真理的成果并不局限于空間和天文學的數學，他們還創建了力學。力學研究可作為質點處理的物體及經過外延后的物體的運動，還有引起運動的力。在《物理學》一書中，亞里士多德把標志希臘力學頂峰的運動定理歸納到一起。和他的所有物理學一樣，他的力學也是建立在一些理性的，似乎是自明的原理之上，與觀測結果完全吻合。雖然這一理論支配世界幾近2000年，但我們不打算重述，因其為牛頓力學取而代之。關于亞里士多德運動理論值得一提的是阿基米得關于物體重心的工作和杠桿定律。所有這些，都體現了數學的重要作用，從而更加證實了數學是洞察自然設計的基礎。
繼天文學和力學之后，光學成為人們最經久探索的學科。這門數學學科也是希臘人創建的。從畢達哥拉斯派開始，幾乎所有的希臘哲學家都致力于光、像和色的性質的探索。我們關心的卻是這些方面的數學成就。第一項成就是西西里島阿格里真坦的伊姆班道克斯(Empedocles of Agrigentum)先驗地提出的光以有限速度行進的說法。光學的第一批系統性著作是歐幾里得的《光學》和《鏡面反射》。《光學》研究視像問題以及怎樣從視像確定物體的大小。《鏡面反射》描述從平面鏡、凸透鏡和凹透鏡反射出來的光的習性以及它對我們視覺的影響。這書也像《光學》一樣，是從實際上就是公設的一些定義出發的。定理1(現代教科書上是一條公理)稱為反射定律，是幾何光學的一條基本定理。這定理說從A點出發的入射光線與鏡面所成角A等于反射光線與鏡面所成角B(圖16)。歐幾里得還證明了光線照射在凸透鏡或凹透鏡面上的規律(圖17)。在切點處，他以切線來代替鏡面。這兩本書在內容及編排上都是用數學來處理的，像歐幾里得的《幾何原本》一樣，定義、公理和定理貫穿始終。
圖16圖17從反射律出發，數學家和工程師海倫(Heron)推出一個重要結論。如果P和Q是圖16中直線ST同側的任意兩點，則從點P到直線再到點Q的一切路徑中，以通過直線上點R使線段PR和QR與直線的夾角相等的那條路徑為最短，而這恰好就是光線所經過的路徑。所以，光線從P出發經過鏡面再到Q是采取最短路程的。很明顯，自然界是很了解幾何且運用自如的。這個命題出現在海倫的《鏡面反射》一書中，那也是講述凹透鏡、凸透鏡和反射鏡的組合的我們今天所擁有的版本，也許是包括歐幾里得在內，若干人著作的匯編。——原注。
有不少著作是論述光線在各種形狀鏡面上的反射的，其中有阿基米得所著而現已失傳的《鏡面反射》以及迪奧克斯和阿波羅紐斯所寫、書名同為《論點火鏡》的兩部著作。點火鏡是星球面形、旋轉橢球面形(橢圓繞其長軸旋轉而生成的形體)和旋轉拋物面形的凹透鏡。阿波羅紐斯肯定知道，而且迪奧克斯的書里也包含有拋物鏡面能把焦點處發出的光反射成平行于鏡面軸的光束(圖18)的證明。反之，若照射的光線平行于軸，則反射后就聚集在焦點處，這樣就可把太陽光聚集在焦點處產生高溫，從而有點火鏡之名。據說阿基米得就是利用拋物鏡面的這一性質把日光集中到圍攻他的家鄉敘拉古的羅馬船上使它們起火的。阿波羅紐斯也知道其他圓錐曲線的反射性質，例如，從橢圓鏡面一焦點發出的光經反射后會集中到另一焦點上，他在所著《圓錐曲線》第三篇里講述了橢圓和雙曲線的有關幾何性質。
圖18希臘人還創建了許多其他學科，著名的有地理學和流體靜力學。施勒尼的厄拉多塞(Eratosthemes of Cyrene)是亞歷山大里亞圖書館館長，被認為是古代最有學問的人。他計算了為希臘人所知道的地球上的許多重要地點之間的距離。他也對地球(大圓)的周長作了一個著名而相當準確的計算，并寫了一本書《地理學》。在書中他不但描述了他所用的數學方法，而且給出了地表變化的原因和解釋。
地理學最深刻的著作是托勒密那部包含八個篇章的《地理學》，托勒密不僅拓展了厄拉多塞的工作，而且用和我們現在所用的完全類似的經緯度，定位了地球上8000個位置。托勒密也給出了繪制地圖的方法，其中，有些現在還在運用，特別是球極平面投影法。在所有這些地理學工作中，從公元前4世紀就開始應用的球面圖形的幾何學是基礎。
流體靜力學這門學科討論放置在水中的物體所受到的壓力，阿基米得的《論浮體》一書是這方面的奠基作。像我們曾討論過的所有其他著作，其方法和結論推導都是徹底的數學化。特別的，它包含了現在稱之為阿基米得原理的定律：浸在水中的物體受到的浮力，等于其所排開的水的重量。為什么人們能在肆虐泛濫的世俗洪水中免于沉淪，我們也要歸功于阿基米得。
盡管對數學的演繹推導和自然定律的數學表示統治了亞歷山大里亞希臘時期，我們還應該注意這一時期的人與古典希臘時期的人不同，他們也求助于實驗和觀測。他們繼承并利用了巴比倫人2000多年來所獲得的相當精確的天文學觀測結果。喜帕恰斯把當時能夠觀察到的星體制成表格，當時的一些發明物(主要由阿基米得和數學家及工程師海倫完成)包括日晷、星盤、蒸氣和水力的運用。
由埃及亞歷山大的直接繼承者托勒密一世創辦的亞歷山大里亞藝術宮極為聞名。藝術宮內學者云集，有一個藏書40萬冊的著名圖書館，由于它無法存放所有的手稿，另外30萬卷便存放在塞拉皮斯的神廟里。學者們也為學生授課。
利用他們的數學成就和許多科學研究結果，希臘人對宇宙是依據數學設計的，給出了充分的證明。數學實質上存在于宇宙萬物之中，它是關于自然界結構的真理，或者如柏拉圖所說，是物質世界的客觀存在。宇宙存在規律和秩序，數學是達到這種有序的關鍵。而且，人類理性可以洞察這個設計并且揭示其數學結構。
對自然作邏輯的、數學的探索的概念主要來自于歐幾里得的《幾何原本》，雖然這一著述旨在研究物理空間，但其編排組織，獨創性和清晰度激發了公理演繹方法，不僅適用數學的其他領域，如關于數字的理論，而且適用于所有科學。所有基于數學的物理知識的邏輯化結構通過這本書進入了理性世界。
這樣希臘人建立了數學和對現代科學基礎的自然設計的探討之間的聯系。直到19世紀后半葉，對數學設計的探求，即對真理的探求，認為數學規律是自然界的真理的信念為數學吸引了最深刻和最著名的思想家。

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